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1.

Toda consideración seria de una teoría física debe tener en cuenta la distinción entre la realidad objetiva, que es independiente de toda teoría, y los conceptos físicos con los que la teoría opera. Estos conceptos pretenden corresponder a la realidad objetiva, y por medio de ellos nos representamos esa realidad.

Al intentar juzgar el éxito de una teoría física, podemos hacernos dos preguntas: (1) «¿Es correcta la teoría?» y (2) «¿Es completa la descripción que da la teoría?». Solo en el caso de que puedan darse respuestas afirmativas a ambas preguntas puede decirse que los conceptos de la teoría son satisfactorios. La corrección de la teoría se juzga por el grado de concordancia entre sus conclusiones y la experiencia humana. Esta experiencia, que es lo único que nos permite hacer inferencias acerca de la realidad, adopta en física la forma de experimento y medición. Es la segunda pregunta la que deseamos considerar aquí, aplicada a la mecánica cuántica.

Cualquiera que sea el significado que se asigne al término completa, el siguiente requisito para una teoría completa parece ser necesario: todo elemento de la realidad física debe tener una contraparte en la teoría física. Llamaremos a esto la condición de completitud. La segunda pregunta puede responderse fácilmente tan pronto como seamos capaces de decidir cuáles son los elementos de la realidad física.

Los elementos de la realidad física no pueden determinarse mediante consideraciones filosóficas a priori, sino que deben hallarse apelando a los resultados de experimentos y mediciones. Sin embargo, una definición exhaustiva de la realidad es innecesaria para nuestro propósito. Nos daremos por satisfechos con el siguiente criterio, que consideramos razonable. Si, sin perturbar de ningún modo un sistema, podemos predecir con certeza (es decir, con probabilidad igual a la unidad) el valor de una magnitud física, entonces existe un elemento de realidad física correspondiente a esa magnitud física. Nos parece que este criterio, aunque lejos de agotar todas las formas posibles de reconocer una realidad física, al menos nos proporciona una de esas vías siempre que se cumplan las condiciones allí establecidas. Considerado no como una condición necesaria, sino únicamente como una condición suficiente de realidad, este criterio concuerda tanto con las concepciones clásicas como con las de la mecánica cuántica acerca de la realidad.

Para ilustrar las ideas implicadas, consideremos la descripción mecánico-cuántica del comportamiento de una partícula con un único grado de libertad. El concepto fundamental de la teoría es el concepto de estado, que se supone completamente caracterizado por la función de onda \(\psi\), la cual es función de las variables elegidas para describir el comportamiento de la partícula. A cada magnitud físicamente observable \(A\) le corresponde un operador, que puede designarse con la misma letra.

Si \(\psi\) es una función propia del operador \(A\), esto es, si

donde \(a\) es un número, entonces la magnitud física \(A\) tiene con certeza el valor \(a\) siempre que la partícula esté en el estado dado por \(\psi\). De acuerdo con nuestro criterio de realidad, para una partícula en el estado dado por \(\psi\) para el cual se cumple la Ec. (1), existe un elemento de realidad física correspondiente a la magnitud física \(A\). Sea, por ejemplo,

donde \(h\) es la constante de Planck, \(p_0\) es cierto número constante y \(x\) la variable independiente. Como el operador correspondiente al momento lineal de la partícula es

obtenemos

Así, en el estado dado por la Ec. (2), el momento tiene con certeza el valor \(p_0\). Tiene entonces sentido decir que el momento de la partícula en el estado dado por la Ec. (2) es real.

Por otro lado, si la Ec. (1) no se cumple, ya no podemos hablar de que la magnitud física \(A\) tenga un valor determinado. Este es el caso, por ejemplo, de la coordenada de la partícula. El operador correspondiente a ella, digamos \(q\), es el operador de multiplicación por la variable independiente. Así,

De acuerdo con la mecánica cuántica, solo podemos decir que la probabilidad relativa de que una medición de la coordenada dé un resultado comprendido entre \(a\) y \(b\) es

Dado que esta probabilidad es independiente de \(a\) y depende solo de la diferencia \(b-a\), vemos que todos los valores de la coordenada son igualmente probables.

Un valor definido de la coordenada, para una partícula en el estado dado por la Ec. (2), no es por tanto predecible, sino que puede obtenerse solo mediante una medición directa. Tal medición, sin embargo, perturba la partícula y altera así su estado. Una vez determinada la coordenada, la partícula ya no estará en el estado dado por la Ec. (2). La conclusión usual que se extrae de esto en la mecánica cuántica es que cuando se conoce el momento de una partícula, su coordenada no tiene realidad física.

De manera más general, en la mecánica cuántica se demuestra que, si los operadores correspondientes a dos magnitudes físicas, digamos \(A\) y \(B\), no conmutan, esto es, si \(AB \neq BA\), entonces el conocimiento preciso de una de ellas excluye un conocimiento igualmente preciso de la otra. Además, todo intento de determinar esta última experimentalmente alterará el estado del sistema de tal modo que destruirá el conocimiento de la primera.

De esto se sigue que o bien (1) la descripción mecánico-cuántica de la realidad dada por la función de onda no es completa, o bien (2) cuando los operadores correspondientes a dos magnitudes físicas no conmutan, las dos magnitudes no pueden ser simultáneamente reales. Pues si ambas tuvieran realidad simultánea —y por tanto valores definidos—, estos valores formarían parte de la descripción completa, de acuerdo con la condición de completitud. Si entonces la función de onda proporcionara tal descripción completa de la realidad, contendría estos valores, que serían por tanto predecibles. Como este no es el caso, nos quedamos con las alternativas enunciadas.

En la mecánica cuántica suele suponerse que la función de onda sí contiene una descripción completa de la realidad física del sistema en el estado al que corresponde. A primera vista esta suposición es del todo razonable, pues la información que puede obtenerse de una función de onda parece corresponder exactamente a lo que puede medirse sin alterar el estado del sistema. Mostraremos, sin embargo, que esta suposición, junto con el criterio de realidad dado antes, conduce a una contradicción.

2.

Con este propósito, supongamos que tenemos dos sistemas, I y II, a los que permitimos interactuar desde el instante \(t=0\) hasta \(t=T\), tras lo cual suponemos que ya no hay interacción alguna entre las dos partes. Supongamos además que los estados de ambos sistemas antes de \(t=0\) eran conocidos. Podemos entonces calcular, con ayuda de la ecuación de Schrödinger, el estado del sistema combinado I + II en cualquier instante posterior; en particular, para cualquier \(t>T\). Designemos la función de onda correspondiente por \(\Psi\). No podemos, sin embargo, calcular el estado en que queda cualquiera de los dos sistemas tras la interacción. Esto, según la mecánica cuántica, solo puede hacerse con ayuda de mediciones ulteriores, mediante un proceso conocido como la reducción del paquete de ondas. Consideremos lo esencial de este proceso.

Sean \(a_1, a_2, a_3, \cdots\) los valores propios de cierta magnitud física \(A\) perteneciente al sistema I, y \(u_1(x_1), u_2(x_1), u_3(x_1), \cdots\) las funciones propias correspondientes, donde \(x_1\) representa las variables usadas para describir el primer sistema. Entonces \(\Psi\), considerada como función de \(x_1\), puede expresarse como

donde \(x_2\) representa las variables usadas para describir el segundo sistema. Aquí las \(\psi_n(x_2)\) han de considerarse meramente como los coeficientes del desarrollo de \(\Psi\) en una serie de funciones ortogonales \(u_n(x_1)\). Supongamos ahora que se mide la magnitud \(A\) y se encuentra que tiene el valor \(a_k\). Se concluye entonces que, tras la medición, el primer sistema queda en el estado dado por la función de onda \(u_k(x_1)\), y que el segundo sistema queda en el estado dado por la función de onda \(\psi_k(x_2)\). Este es el proceso de reducción del paquete de ondas; el paquete de ondas dado por la serie infinita (7) se reduce a un único término \(\psi_k(x_2)\,u_k(x_1)\).

El conjunto de funciones \(u_n(x_1)\) queda determinado por la elección de la magnitud física \(A\). Si, en lugar de ella, hubiéramos elegido otra magnitud, digamos \(B\), con valores propios \(b_1, b_2, b_3, \cdots\) y funciones propias \(v_1(x_1), v_2(x_1), v_3(x_1), \cdots\), habríamos obtenido, en lugar de la Ec. (7), el desarrollo

donde las \(\varphi_s\) son los nuevos coeficientes. Si ahora se mide la magnitud \(B\) y se encuentra que tiene el valor \(b_r\), concluimos que, tras la medición, el primer sistema queda en el estado dado por \(v_r(x_1)\) y el segundo sistema queda en el estado dado por \(\varphi_r(x_2)\).

Vemos, por tanto, que, como consecuencia de dos mediciones diferentes realizadas sobre el primer sistema, el segundo sistema puede quedar en estados descritos por dos funciones de onda diferentes. Por otro lado, dado que en el momento de la medición los dos sistemas ya no interactúan, ningún cambio real puede producirse en el segundo sistema como consecuencia de cualquier cosa que se haga al primero. Esto no es, por supuesto, más que un enunciado de lo que se entiende por ausencia de interacción entre los dos sistemas. Así, es posible asignar dos funciones de onda diferentes (en nuestro ejemplo \(\psi_k\) y \(\varphi_r\)) a una misma realidad (el segundo sistema tras la interacción con el primero).

Ahora bien, puede ocurrir que las dos funciones de onda, \(\psi_k\) y \(\varphi_r\), sean funciones propias de dos operadores que no conmutan, correspondientes a ciertas magnitudes físicas \(P\) y \(Q\), respectivamente. Que esto puede efectivamente ocurrir se muestra mejor con un ejemplo. Supongamos que los dos sistemas son dos partículas y que

donde \(x_0\) es cierta constante. Sea \(A\) el momento de la primera partícula; entonces, como hemos visto en la Ec. (4), sus funciones propias serán

correspondientes al valor propio \(p\). Como tenemos aquí el caso de un espectro continuo, la Ec. (7) se escribirá ahora

donde

Esta \(\psi_p\), sin embargo, es la función propia del operador de momento de la segunda partícula

con valor propio \(-p\). Por otro lado, si \(B\) es la coordenada de la primera partícula, tiene por funciones propias

correspondientes al valor propio \(x\), donde \(\delta(x_1-x)\) es la bien conocida función delta de Dirac. La Ec. (8) se convierte en este caso en

donde

Esta \(\varphi_x\), sin embargo, es la función propia del operador de coordenada de la segunda partícula

con valor propio \(x + x_0\). Dado que

hemos mostrado que, en general, es posible que \(\psi_k\) y \(\varphi_r\) sean funciones propias de dos operadores que no conmutan, correspondientes a magnitudes físicas.

Volviendo ahora al caso general contemplado en las Ecs. (7) y (8), suponemos que \(\psi_k\) y \(\varphi_r\) son, en efecto, funciones propias de ciertos operadores que no conmutan, \(P\) y \(Q\), correspondientes a los valores propios \(p_k\) y \(q_r\), respectivamente. Así, midiendo ya sea \(A\) o \(B\), estamos en posición de predecir con certeza, y sin perturbar de ningún modo el segundo sistema, o bien el valor de la magnitud \(P\) (esto es, \(p_k\)), o bien el valor de la magnitud \(Q\) (esto es, \(q_r\)). De acuerdo con nuestro criterio de realidad, en el primer caso debemos considerar la magnitud \(P\) como un elemento de realidad; en el segundo caso, la magnitud \(Q\) es un elemento de realidad. Pero, como hemos visto, ambas funciones de onda \(\psi_k\) y \(\varphi_r\) pertenecen a la misma realidad.

Anteriormente probamos que, o bien (1) la descripción mecánico-cuántica de la realidad dada por la función de onda no es completa, o bien (2) cuando los operadores correspondientes a dos magnitudes físicas no conmutan, las dos magnitudes no pueden ser simultáneamente reales. Partiendo entonces de la suposición de que la función de onda sí da una descripción completa de la realidad física, llegamos a la conclusión de que dos magnitudes físicas cuyos operadores no conmutan pueden ser simultáneamente reales. Así, la negación de (1) conduce a la negación de la única otra alternativa (2). Nos vemos, pues, forzados a concluir que la descripción mecánico-cuántica de la realidad física dada por las funciones de onda no es completa.

Podría objetarse a esta conclusión que nuestro criterio de realidad no es suficientemente restrictivo. En efecto, no se llegaría a nuestra conclusión si se insistiera en que dos o más magnitudes físicas solo pueden considerarse elementos simultáneos de realidad cuando pueden medirse o predecirse simultáneamente. Desde este punto de vista, dado que puede predecirse una u otra —pero no ambas simultáneamente— de las magnitudes \(P\) y \(Q\), estas no son simultáneamente reales. Esto hace que la realidad de \(P\) y \(Q\) dependa del proceso de medición llevado a cabo sobre el primer sistema, el cual no perturba en modo alguno el segundo sistema. No cabe esperar que ninguna definición razonable de la realidad permita esto.

Si bien hemos mostrado así que la función de onda no proporciona una descripción completa de la realidad física, hemos dejado abierta la cuestión de si tal descripción existe o no. Creemos, sin embargo, que tal teoría es posible.